无套利定价理论

买入一定的资产并随即卖出(或者相反),利用其中差价获利的行为,称之为套利(arbitrage)。无套利(no-arbitrage)假设,是金融产品以及衍生品定价理论的基本假设。其内涵就是,由于市场流动性和信息透明性,市场上不存在套利机会,世上没有免费的午餐。

利用无套利定价理论为金融产品定价时,常常构造两个相反的投资组合(portfolio),模拟同一个交易的双方,金融产品的定价使得双方均不可能在交易中套利。

举例来说,一份合约约定,一年后支付给你 A=100 元,你当前愿意花多少钱购买这份合约?

100 元吗?假设你花 100 元购买的这份合约,对方把收到的钱用于投资(比如存入银行或者购买国债),利率为 r=3%,一年后他收入 A(1+r)=103 元,却只需要支付 100 元给你,套利 3 元——你会这么傻?即使你傻,金融市场上其他卖方见到套利机会也会蜂拥而至,傻子很快不够用了,卖方为了套利不惜降价,直至套利机会不存在。

那么这份合约定价多少才能让卖方无套利机会呢?设定价为 p,卖方收到钱后用于投资,一年后得到 p(1+r) 元,卖方无法套利的条件是: (1)p(1+r)A0, 作为买方,你可以以利率 r 贷入 p 元用于购买合约,一年后收入 A 元并偿还 p(1+r) 元,假设你也不存在套利机会(否则这样的合约有多少给我来多少),有: (2)Ap(1+r)0,(1),(2) 可知: p=A(1+r)=97.09. 以上可以看出,无套利假设得以成立,建立在这样几个条件之上:

  1. 市场具有足够的流动性(markets are liquid),即市场上有足够多的买方和卖方。
  2. 买卖双方都能获得价格信息。
  3. 供求双方的竞争会修正实际价格和无套利价格之间的偏差。

这个例子也说明了,未来的 100 元没有当下的 100 元值钱(97.09<100)。在计算未来现金流的价格时,总要根据利率打点折扣。

上面的例子之所以能给出准确定价,是由于假设了存贷款利率相等,而通常情况下,贷款利率 rB 总不低于存款利率 rL(银行也不会白给你套利机会的),这时就只能给出 p 的取值范围: A(1+rB)pA(1+rL) 这时候,p 在取值范围内,具体值由供求关系决定。